\section{连续映射}

\begin{exercise}
    令$A = \{x \in \R : x = f(x)\}$，$B = \R - A = \{x \in R : x \ne f(x)\}$。
    任取$t \in B$，有$f(t) \ne t$，不妨令$f(t) < t$，鉴于$f$连续，则有
    $$f(t) = \lim_{x \map t}f(x) < t = \lim_{x \map t}t$$
    由局部保序性（参见数学分析），总有$\delta > 0$，使得$\forall x( 0 \le |x - t| < \delta)$，
    都有$f(x) < t$，也就是说开集$(t-\delta,t+\delta) = B(t,\delta) \subseteq B$；
    也就是说，$B$中每点都有包含它的$B$的开子集，进而说明$B$开，进而$A$闭。

    第二问讨论的是一般的拓扑空间到$\R$的映射$g: X \map \R$。令$C = \{x \in X:g(x)=0\}$，
    那么鉴于$g$连续，则$D = g\rev((0,+\infty)) \cup g\rev((-\infty, 0))$是开的，进而$X- D = C$是闭的。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    $h: \R \map (0,1)$显然是连续的一一映射（初等函数的有限四则运算仍然连续，参见数学分析），且可以说明
    $$h\rev(x) = \ln \frac{x}{1-x}$$
    也是连续的。这说明$h$是同胚。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    容易验证$\R^2$上有一组拓扑基$\beta = \{(a,b)\times (c,d): a<b, c<d\}$。
    那么可以知道拓扑基中每一个元素的原像
    $$\Gamma_f\rev((a,b) \times (c,d)) = (a,b) \cap f\rev((c,d))$$
    是开的，进而$\Gamma_f$是连续映射。

    考虑$\Gamma_f': \R \map \Gamma_f(\R)$，我们已经说明了它是连续映射，并且任意的$\R$上开区间的像是开的，因为
    $$
    \Gamma_f'((a,b)) = \Gamma_f(\R) \cap \left( (a,b)\times\R \right)
    $$
    以及显然$\Gamma_f'$是一一映射，故$\R \cong \Gamma_f(\R)$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    当且仅当是离散拓扑。首先说明一旦被赋予离散拓扑自然所有实值函数都连续。

    接下来说明必须是离散拓扑。倘若$X$没有被赋予离散拓扑，则总存在一个集合$K\subseteq X$不是闭集。
    那么考虑实值函数
    $$f: X \map \R \qquad x \mapsto
    \begin{cases}
        1 \quad x \in K \\
        0 \quad x \notin K  \\ 
    \end{cases}
    $$
    则显然$f\rev(\{1\}) = K$不是闭集，这说明$f$不满足闭集的原像是闭集，进而$f$不连续，也就说明这个拓扑不满足任何实值函数都连续的条件。进而只有离散拓扑满足这样的条件。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    任意的$X$中开集$U$都可以表示成
    $$
    U = \R - \left( \   \bigcup_{i=1}^n \{a_i\} \    \right)
    $$
    那么依据这样的形式，$U = f\rev(U)$显然是开集，因此$f$连续。
    但是比方说$f((0,1))=(0,1)$显然在$\R$中开，但是在$X$中不是开集，也就是说$f\rev$不连续。所以$f$不是同胚。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    我们只需要说明，对于任意的$Y$中开集$A$，$B = f\rev(A)$也是开集，也即任意的$x \in B$，总存在包括$x$的$X$中开集$U \subseteq B$。
    对于任意的$x \in B$，总存在一个$n$，使得$x \in A_n \subseteq A_{n+1} \nb $，因为$f|_{A_n}$连续，所以$B \cap A_n$是$A_n$中开集，
    又因为$B \cap A_n \subseteq A_{n+1}\nb$，所以任意的$t \in B \cap A_n$，都存在$X$中开集$V_t\subseteq A_{n+1}\nb$，进而有
    $$
    x \in B \cap A_n \subseteq \bigcup_{t \in B \cap A_n}V_t \subseteq A_{n+1}\nb
    $$
    是开集，所以任意的$x \in B$都有包含它的$B$的开子集，进而$B$开，进而$f$连续。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    $\overline{f\rev(1)} \cap \overline{f\rev(0)}$
\end{exercise}

\begin{exercise}
    \begin{enumerate}
        \item {连续闭映射；}
        \item {连续闭映射；}
        \item {同时是连续开映射和连续闭映射。}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    我们先证明这样一个引理：
    \begin{lemma}[矩形互相同胚]
        $[-1,1]^n \cong \prod\limits_{i=1}^{n}[-a_i,a_i]$，其中对任意的$i$，$a_i>0$。

        \begin{proof}
            考虑映射$\phi:(x_1,x_2,\cdots,x_n) \mapsto (x_1a_1,x_2a_2,\cdots,x_na_n)$，容易验证这是同胚。
        \end{proof}
    \end{lemma}

    采用数学归纳法。当$n = 1,2$是，命题显然成立。
    倘若命题对$n$成立，则在$\R^{n+1}$中，令平面
    $$\alpha_\theta:x_{n+1} = \tan \theta \sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2} \qquad \theta \in [0,2\ppi)$$
    对于每一个在范围内的$\theta$，$\alpha_\theta$截单位球和单位方体的截面（相交形成的空间，分别是$n$为单位球和$n$维空间内的一个矩形）互相同胚（因为命题对$n$成立），
    合并每一个$\theta$的结果，可以知道$n+1$维单位球同胚与单位方体同胚。
\end{exercise}

